相似の問題17 ~テスト・受験対策~
問題 \(\triangle{ABC}\)で、辺\(BC\)を三等分する点を\(P\)、\(Q\)とし、辺\(AB\)の中点を\(M\)とします。線分\(AQ\)と\(CM\)の交点を\(D\)とするとき、次の問いに答えなさい。
（１）\(\triangle{CDQ}\)∽\(\triangle{CMP}\)を証明しなさい。
（２）\(AD:DQ\)を求めなさい。
（３）\(\triangle{ABC}\)と\(\triangle{ADC}\)の面積比を求めなさい。
もくじ
相似を証明する
（１）\(\triangle{CDQ}\)∽\(\triangle{CMP}\)を証明しなさい。
\(\triangle{CDQ}\)と\(\triangle{CMP}\)について
\(BM:MA=BP:PQ\)より
\(MP//AQ\)
\(DQ//MP\)より
\(\angle{CDQ}=\angle{CMP}\)
\(\angle{CQD}=\angle{CPM}\)
◯ 同位角が等しい！
よって、２組の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle{CDQ}\)∽\(\triangle{CMP}\) //
中点連結定理でもＯＫ
（２）\(AD:DQ\)を求めなさい。
\(DQ//MP\)より
\(DQ:MP=CQ:CP=1:2\)
\(MP//AQ\)より
\(MP:AQ=BP:BQ\\2:AQ=1:2\\AQ=4\)
よって
\(AD:DQ=3:1\)
答え \(3:1\)
面積を削ぎ落とす
（３）\(\triangle{ABC}\)と\(\triangle{ADC}\)の面積比を求めなさい。
\(\triangle{AQC}=\triangle{ABC}×\frac{1}{3}\)
\(\triangle{ADC}=\triangle{AQC}×\frac{3}{4}\)
よって
\(\triangle{ADC}~\)\(=\triangle{ABC}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}\\=\frac{1}{4}\triangle{ABC}\)
ゆえに
\(\triangle{ABC}:\triangle{ADC}=4:1\)
答え \(4:1\)
