相似の問題17 ~テスト・受験対策~

問題 \(\triangle{ABC}\)で、辺\(BC\)を三等分する点を\(P\)、\(Q\)とし、辺\(AB\)の中点を\(M\)とします。線分\(AQ\)と\(CM\)の交点を\(D\)とするとき、次の問いに答えなさい。

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(1)\(\triangle{CDQ}\)∽\(\triangle{CMP}\)を証明しなさい。

(2)\(AD:DQ\)を求めなさい。

(3)\(\triangle{ABC}\)と\(\triangle{ADC}\)の面積比を求めなさい。

 

 

相似を証明する

相似な三角形! 相似条件とは?

 

(1)\(\triangle{CDQ}\)∽\(\triangle{CMP}\)を証明しなさい。

\(\triangle{CDQ}\)と\(\triangle{CMP}\)について

比が等しいと平行になる!

\(BM:MA=BP:PQ\)より

\(MP//AQ\)

相似,証明

\(DQ//MP\)より

\(\angle{CDQ}=\angle{CMP}\)

\(\angle{CQD}=\angle{CPM}\)

◯ 同位角が等しい!

よって、2組の角がそれぞれ等しいから

\(\triangle{CDQ}\)∽\(\triangle{CMP}\) //

 

 

中点連結定理でもOK

中点連結定理とは?

(2)\(AD:DQ\)を求めなさい。

相似,中点連結定理

\(DQ//MP\)より

\(DQ:MP=CQ:CP=1:2\)

相似,中点連結定理

\(MP//AQ\)より

\(MP:AQ=BP:BQ\\2:AQ=1:2\\AQ=4\)

よって

\(AD:DQ=3:1\)

答え \(3:1\)

 

 

面積を削ぎ落とす

(3)\(\triangle{ABC}\)と\(\triangle{ADC}\)の面積比を求めなさい。

面積が何倍かを求める問題!応用編

面積,何倍

\(\triangle{AQC}=\triangle{ABC}×\frac{1}{3}\)

 

面積,何倍

\(\triangle{ADC}=\triangle{AQC}×\frac{3}{4}\)

 

よって

\(\triangle{ADC}~\)\(=\triangle{ABC}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}\\=\frac{1}{4}\triangle{ABC}\)

ゆえに

\(\triangle{ABC}:\triangle{ADC}=4:1\)

答え \(4:1\)

相似の問題18 ~テスト・受験対策~


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