相似な図形 ~注意するポイント！~ (表面積の比？)
- 相似比 \(a:b\)
- 面積比 \(a^2:b^2\)
- 体積比 \(a^3:b^3\)
問題 相似な２つの三角形があります。この２つの三角形の相似比が \(3:8\)であるとき、面積比を求めなさい。
- 相似比 \(a:b\)
- 面積比 \(a^2:b^2\)
相似比がわかれば楽勝！
相似比は 「\(3:8\)」だから
面積比は「\(3^2:8^2\)」になる
よって
答え \(9:64\)
表面積に惑わされるな！
問題 相似な２つの円錐があります。この２つの円錐の表面積の比が \(25:16\)であるとき、体積比を求めなさい。
- 相似比 \(a:b\)
- 面積比 \(a^2:b^2\)
- 体積比 \(a^3:b^3\)
「表面積の比」→「面積比」
相似比を「\(a:b\)」とすると
面積比は「\(a^2:b^2\)」
問題より、面積比は「\(25:16\)」だから
\(a^2:b^2=25:16\\a~:~b~=~~5:~~4\)
よって
相似比は「\(5:4\)」だから
体積比は「\(5^3:4^3\)」になる
答え \(125:64\)
問題 相似な２つの円錐 \(P\)、\(Q\)があります。相似比が \(2:3\)のとき次の問いに答えなさい。
（１）\(Q\)の表面積が\(108\pi cm^2\)のとき、\(P\)の表面積を求めなさい。
（２）\(P\)の体積が\(48\pi cm^3\)のとき、\(Q\)の体積を求めなさい。
相似比「\(2:3\)」より、面積比と体積比がわかる！
（１）\(Q\)の表面積が\(108\pi~cm^2\)のとき、\(P\)の表面積を求めなさい。
相似比「\(2:3\)」より
面積比「\(2^2:3^2\)」
よって
\( S{\tiny P }~:~~~S{\tiny Q } ~~=~~2^2:3^2\\ S{\tiny P }~:108\pi ~ =~~4~:9\\ S{\tiny P }~:~~12\pi~ =~~4~:1\\S{\tiny P }=48\pi\)
答え \(48\pi cm^2\)
（２）\(P\)の体積が\(48\pi cm^3\)のとき、\(Q\)の体積を求めなさい。
相似比「\(2:3\)」より
体積比「\(2^3:3^3\)」
よって
\(~ V{\tiny P }~~~:~V{\tiny Q } =~~2^3:3^3\\ 48\pi ~:~V{\tiny Q }~=~~8~:27\\~~6\pi~:~V{\tiny Q }~=~~1~:27\\S{\tiny Q }=162\pi\)
答え \(162\pi cm^3\)
まとめ
- 表面積の比は面積比と考えればＯＫ！
