円柱の水槽に球を入れる問題
問題 図のように底面の半径\(3cm\)、高さ\(4cm\)の円柱と、半径\(2cm\)の球があります。次の問いに答えなさい。ただし、円周率は\(\pi\)とします。
（１）円柱の表面積と体積を求めなさい。
（２）球の表面積と体積を求めなさい。
（３）底面の半径\(3cm\)、高さ\(4cm\)の円柱の形をした水槽を水平な台に置き、底から\(3cm\)の高さまで水を入れます。水槽から溢れる水の量を求めなさい。ただし、水槽の厚さは考えないものとします。
もくじ
円柱の形をした水槽の表面積と体積を求める！
（１）円柱の表面積と体積を求めなさい。
円柱の表面積
\(\pi ×3^2×2+4×2\pi ×3\\=18\pi +24\pi\\=42\pi\)
答え \(42\pi~cm^3\)
円柱の体積
- 体積＝底面積×高さ×\(\frac{1}{3}\)（錐なら\(\frac{1}{3}\)倍する）
\(\pi ×3^2×4=36\pi\)
答え \(36\pi~cm^3\)
球の体積と表面積を求める！
（２）球の表面積と体積を求めなさい。
球の表面積
- \(S=4\pi r^2\)
\(4\pi ×2^2=16\pi\)
答え \(16\pi~(cm^2)\)
球の体積
- \(V=\frac{4\pi r^3}{3}\)
\(\frac{4\pi~×2^3}{3}=\frac{32}{3}\pi\)
答え \(\frac{32}{3}\pi~cm^3\)
溢れ出る水の量を求める！
（３）底面の半径\(3cm\)、高さ\(4cm\)の円柱の形をした水槽を水平な台に置き、底から\(3cm\)の高さまで水を入れます。水槽から溢れる水の量を求めなさい。ただし、水槽の厚さは考えないものとします。
水槽の水が入っていない部分の体積は
\(\pi ×3^2×(4-3)=9\pi\)
水槽の中に球を入れると球の体積(\(\frac{32}{3}\pi~(cm^3)\))分だけ水が押し上げられるから
溢れる水の量は
\(\frac{32}{3}\pi~-9\pi\\=\frac{32-27}{3}\pi\\=\frac{5}{3}\pi\)
答え \(\frac{5}{3}\pi~cm^3\)
