円柱の水槽に球を入れる問題

問題 図のように底面の半径\(3cm\)、高さ\(4cm\)の円柱と、半径\(2cm\)の球があります。次の問いに答えなさい。ただし、円周率は\(\pi\)とします。

円柱,水槽球

(1)円柱の表面積と体積を求めなさい。

(2)球の表面積と体積を求めなさい。

(3)底面の半径\(3cm\)、高さ\(4cm\)の円柱の形をした水槽を水平な台に置き、底から\(3cm\)の高さまで水を入れます。水槽から溢れる水の量を求めなさい。ただし、水槽の厚さは考えないものとします。

 

 

円柱の形をした水槽の表面積と体積を求める!

(1)円柱の表面積と体積を求めなさい。

表面積のすべて☆

超簡単!体積の求め方☆

円柱,体積,表面積

円柱の表面積

\(\pi ×3^2×2+4×2\pi ×3\\=18\pi +24\pi\\=42\pi\)

答え \(42\pi~cm^3\)

 

円柱の体積

  • 体積=底面積×高さ×\(\frac{1}{3}\)(錐なら\(\frac{1}{3}\)倍する)

\(\pi ×3^2×4=36\pi\)

答え \(36\pi~cm^3\)

 

 

 

球の体積と表面積を求める!

(2)球の表面積と体積を求めなさい。

球の表面積と体積の求め方!

球,体積,表面積

球の表面積

  • \(S=4\pi r^2\)

\(4\pi ×2^2=16\pi\)

答え \(16\pi~(cm^2)\)

 

球の体積

  • \(V=\frac{4\pi r^3}{3}\)

\(\frac{4\pi~×2^3}{3}=\frac{32}{3}\pi\)

答え \(\frac{32}{3}\pi~cm^3\)

 

 

 

溢れ出る水の量を求める!

(3)底面の半径\(3cm\)、高さ\(4cm\)の円柱の形をした水槽を水平な台に置き、底から\(3cm\)の高さまで水を入れます。水槽から溢れる水の量を求めなさい。ただし、水槽の厚さは考えないものとします。

水槽,体積

水槽の水が入っていない部分の体積は

\(\pi ×3^2×(4-3)=9\pi\)

 

水槽の中に球を入れると球の体積(\(\frac{32}{3}\pi~(cm^3)\))分だけ水が押し上げられるから

溢れる水の量は

\(\frac{32}{3}\pi~-9\pi\\=\frac{32-27}{3}\pi\\=\frac{5}{3}\pi\)

答え \(\frac{5}{3}\pi~cm^3\)


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