放物線と直線 ~複合問題~
問題
- \(y=ax^2\)・・・①
- \(y=\frac{3}{x}\)・・・②
- \(y=x+b\)・・・③
のグラフが点\(B\)で交わっています。②と③の交点は \(A(-3,-1)\)、\(B(1,3)\)です。原点を通る直線\(BC\)と②との交点で、点\(A\)と異なる点を\(C\)とするとき次の問いに答えなさい。
（１）\(a\)、\(b\)の値を求めなさい。
（２）直線\(BC\)の式を求めなさい。
（３）△\(ABC\)の面積を求めなさい。
（１）\(a\)、\(b\)の値を求めなさい。
通る→代入して式が成り立つ！
\(B(1,3)\)が \(y=ax^2\)を通るから
\(3=a×1^2\\3=a×1\\a=3\)
また
\(B(1,3)\)が \(y=x+b\)を通るから
\(3=1+b\\b=2\)
よって
答え \(a=3,b=2\)
もくじ
気づかないと解けない⁉︎
（２）直線\(BC\)の式を求めなさい。
- 点\(A\)と点\(C\)は原点について対称な点である！
点\(C\)の座標求められるかどうか！
\(A(-3,-1)\)と点\(C\)が原点について対称だから
\(C(3,1)\)
直線\(BC\)を求める！
\(B(1,3)\)、\(C(3,1)\)
傾き\(=\frac{1-3}{3-1}\\=\frac{-2}{2}\\=-1\)
よって
\(y=-x+c\)
これが \(B(1,3)\)を通るから
\(3=-1+c\\c=4\)
答え \(y=-x+4\)
解く手順を考えよう！
（３）△\(ABC\)の面積を求めなさい。
一撃で△\(ABC\)の面積を求めることができない！
よって△\(ABC\)を分割して求める！
点\(B\)から \(x\)軸に垂線をひいて、直線\(AC\)との交点を\(D\)とする
- △\(ABC=\)△\(ABD+\)△\(CBD\)
点\(D\)の座標求める！
「点\(B\)から \(x\)軸に垂線をひいて」より
\(D(1,Dy)\)
◯ 点\(B\)と \(x\)座標が同じになる！
直線\(AC\)の式は
よって
直線\(AC\)は
\(y=\frac{1}{3}x\)
原点を通るから切片は\(0\)！
\(D(1,Dy)\)が \(y=\frac{1}{3}x\)を通るから
\(Dy=\frac{1}{3}×1\\~~~~~=\frac{1}{3}\)
よって
\(D(1,\frac{1}{3})\)
- △\(ABC=\)△\(ABD+\)△\(CBD\)
△\(ABC=4×\)\((3-\frac{1}{3})\)\(×\frac{1}{2}+\)\((3-\frac{1}{3})\)\(×2×\frac{1}{2}\)
\(~~~~~~~~~~~=4×\frac{8}{3}×\frac{1}{2}+\frac{8}{3}×2×\frac{1}{2}\)
\(~~~~~~~~~~~=\frac{16}{3}+\frac{8}{3}\)
\(~~~~~~~~~~~=8\)
まとめ
面積を求める問題は、解き方は１通りではありません☆
- 一撃で求める！
- 分割で求める！
- いらない部分を取り除いて求める！
求められる方法で答えを出しましょう！
