二次方程式の利用 ~「解がわかっている」編~

賢く無駄のないように問題を解きましょう☆

 

 

方程式の解は代入して式が成り立つ!

パターン①

例題1 二次方程式 \(x^2+ax+b=0\) の解が\(4\)と\(-5\)であるとき、\(a\)、\(b\)の値を求めなさい。

 

方程式の解→代入して式が成り立つ!

\(x=4\)を代入して

\(4^2+a×4+b=0\\16+4a+b=0\\4a+b=-16…①\)

 

\(x=-5\)を代入して

\((-5)^2+a×(-5)+b=0\\25-5a+b=0\\-5a+b=-25…②\)

 

①、②より

\(\begin{cases} 4a+b=-16…① \\ -5a+b=-25…②\end{cases}\) 

連立方程式の解き方 加減法

①-②より

\(~~~~~~~~~4a+b=-16\\\underline{-)~-5a+b=-25~~}\\~~~~~~~~~9a~~~~~~~=9\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~a=1\)

\(a=1\)を①に代入して

\(4×1+b=-16\\b=-16-4\\b=-20\)

 

よって

答え \(a=1,b=-20\)

 

 

これがパターン①の方程式です!

連立方程式を解くのがちょっと面倒な感じがします💦

発想を転換して、同じ問題を別の方法で解いてみましょう!

 

すてに解がわかっていることを利用する!

パターン②

例題1 二次方程式 \(x^2+ax+b=0\) の解が\(4\)と\(-5\)であるとき、\(a\)、\(b\)の値を求めなさい。

 

「\(x=A,B\)」ならば「\((x-A)(x-B)=0\)」となる!

方程式を解く問題の逆をしているイメージです☆
解がわかっていて、方程式を求めます!

 

\((x-4)(x+5)=0\\x^2+x-20=0\)

 

問題文にある 「\(x^2+ax+b=0\)」と比べて

\(x^2+ax+b=0\)

\(x^2+x-20=0\)

より

答え \(a=1,b=-20\)

 

 

 

 

問題 二次方程式 \(x^2+2ax+b=0\) の解が\(2±\sqrt{3}\)であるとき、\(a\)、\(b\)の値を求めなさい。

 

「\(x=A,B\)」ならば「\((x-A)(x-B)=0\)」となる!

\(\bigl\{x-(2+\sqrt{3})\bigl\}\bigl\{x-(2-\sqrt{3})\bigl\}=0\)

式の展開方法 ~たしてかけて~ (x+a)(x+b)

式が複雑に見えるが、落ち着いて展開の公式を利用しよう!

\(x^2-\bigl\{(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})\bigl\}x+\bigl\{-(2+\sqrt{3})\bigl\}×\bigl\{-(2-\sqrt{3})\bigl\}=0 \\x^2-4x+(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=0\)

式の展開方法 ~2乗してひく~ (a+b)(a-b)

\(x^2-4x+(2^2-\sqrt{3}^2)=0\\x^2-4x+4-3=0\\x^2-4x+1=0\)

 

問題文にある 「\(x^2+2ax+b=0\)」と比べて

\(x^2+2ax+b=0\)

\(x^2-4x+1=0\)

より

\(2a=-4\\a=-2\)

\(b=1\)

よって

答え \(a=-2,b=1\)

 

 

 

まとめ
  • 「\(x=A,B\)」ならば「\((x-A)(x-B)=0\)」となる!

 

例1 \(x^2+4x-5=0\)の方程式を解きなさい。

\(x^2+4x-5=0\\(x+5)(x-1)=0\)

答え \(x=-5,1\)

 

例2 \(x=-5,1\)を解にもつ二次方程式を答えなさい。

\(x=-5,1\)より

\((x+5)(x-1)=0\\x^2+4x-5=0\)

答え \(x^2+4x-5=0\)

 

例1と例2が逆の関係になっています!

いつもは方程式を解くことが多いと思います。

しかしその逆をすれば「解から方程式を求める」ことができるのです!

二次方程式の利用 ~「読みながら式をつくる」編~


スポンサーリンク

コメントを残す

CAPTCHA



スポンサーリンク

このページの先頭へ