正四面体　~高さ・体積を求める公式~

• 高さ　$\frac{\sqrt{6}}{3}a$
• 体積　$\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$

 

 

正四面体の高さ$OH$を求める！

二等辺三角形$PCO$に着目する！

$\triangle{OAB}$は正三角形だから

三平方の定理　覚えること☆（三角定規）

$AP=\frac{a}{2}$

よって

$OP=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

$\triangle{PCO}$は$PC=PO$の二等辺三角形だから

頂点$P$から線分$CO$に垂線をひいて$I$とすると

$\triangle{PCI}$で三平方の定理より

めっっちゃシンプル！三平方の定理

$(\frac{a}{2})^2+PI^2=(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2 \\\frac{1}{4}a^2+PI^2=\frac{3}{4}a^2 \\PI^2=\frac{1}{2}a^2$

$PI>0$より

$PI=\frac{1}{\sqrt{2}}a$

分母を有理化して

平方根　分母の根号(ルート)をなくす！~有理化~

$PI=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

 

$\triangle{PCO}$で底辺$CO$の場合と底辺$CP$の場合で面積について方程式を作ると

$OC×PI×\frac{1}{2}=CP×OH×\frac{1}{2} \\a×\frac{\sqrt{2}}{2}a×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a×OH×\frac{1}{2} \\\sqrt{2}a=\sqrt{3}OH \\OH=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a \\OH=\frac{\sqrt{6}}{3}a$

平方根　分母の根号(ルート)をなくす！~有理化~

 

よって、正四面体の高さ

$\frac{\sqrt{6}}{3}a$

 

 

正四面体の体積を求める！

立体の体積を求める　~基本問題~

• 体積・・・底面積×高さ（錐なら$\frac{1}{3}$倍）

$a×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a×\frac{1}{3}\\=\frac{\sqrt{18}}{36}a^3\\=\frac{3\sqrt{2}}{36}a^3\\=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$

よって、正四面体の体積

$\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$

 

 

正四面体について覚えること！

知っていれば一瞬で答えを求めることができます！

入試で素早く答えられるよう、覚えておきましょう！

 

正四面体について知ろう！（面積と体積は一瞬で求める！）