正四面体 ~高さ・体積を求める公式~

正四面体,高さ,面積,公式

  • 高さ \(\frac{\sqrt{6}}{3}a\)
  • 体積 \(\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\)

 

 

正四面体の高さ\(OH\)を求める!

正四面体,高さ,面積,公式

二等辺三角形\(PCO\)に着目する!

\(\triangle{OAB}\)は正三角形だから

三平方の定理 覚えること☆(三角定規)

\(AP=\frac{a}{2}\)

よって

\(OP=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)

\(\triangle{PCO}\)は\(PC=PO\)の二等辺三角形だから

正四面体,高さ,面積,公式

頂点\(P\)から線分\(CO\)に垂線をひいて\(I\)とすると

正四面体,高さ,面積,公式

\(\triangle{PCI}\)で三平方の定理より

めっっちゃシンプル!三平方の定理

\((\frac{a}{2})^2+PI^2=(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2 \\\frac{1}{4}a^2+PI^2=\frac{3}{4}a^2 \\PI^2=\frac{1}{2}a^2\)

\(PI>0\)より

\(PI=\frac{1}{\sqrt{2}}a\)

分母を有理化して

平方根 分母の根号(ルート)をなくす!~有理化~

\(PI=\frac{\sqrt{2}}{2}a\)

 

正四面体,高さ,面積,公式

\(\triangle{PCO}\)で底辺\(CO\)の場合と底辺\(CP\)の場合で面積について方程式を作ると

\(OC×PI×\frac{1}{2}=CP×OH×\frac{1}{2} \\a×\frac{\sqrt{2}}{2}a×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a×OH×\frac{1}{2} \\\sqrt{2}a=\sqrt{3}OH \\OH=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a \\OH=\frac{\sqrt{6}}{3}a\)

平方根 分母の根号(ルート)をなくす!~有理化~

 

よって、正四面体の高さ

\(\frac{\sqrt{6}}{3}a\)

 

 

正四面体の体積を求める!

立体の体積を求める ~基本問題~

正四面体,高さ,面積,公式

  • 体積・・・底面積×高さ(錐なら\(\frac{1}{3}\)倍)

\(a×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a×\frac{1}{3}\\=\frac{\sqrt{18}}{36}a^3\\=\frac{3\sqrt{2}}{36}a^3\\=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\)

よって、正四面体の体積

\(\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\)

 

 

正四面体について覚えること!

知っていれば一瞬で答えを求めることができます!

入試で素早く答えられるよう、覚えておきましょう!

正四面体,高さ,面積,公式

 

正四面体について知ろう!(面積と体積は一瞬で求める!)


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