正四面体 ~高さ・体積を求める公式~
- 高さ \(\frac{\sqrt{6}}{3}a\)
- 体積 \(\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\)
もくじ
正四面体の高さ\(OH\)を求める！
二等辺三角形\(PCO\)に着目する！
\(\triangle{OAB}\)は正三角形だから
\(AP=\frac{a}{2}\)
よって
\(OP=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)
\(\triangle{PCO}\)は\(PC=PO\)の二等辺三角形だから
頂点\(P\)から線分\(CO\)に垂線をひいて\(I\)とすると
\(\triangle{PCI}\)で三平方の定理より
\((\frac{a}{2})^2+PI^2=(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2 \\\frac{1}{4}a^2+PI^2=\frac{3}{4}a^2 \\PI^2=\frac{1}{2}a^2\)
\(PI>0\)より
\(PI=\frac{1}{\sqrt{2}}a\)
分母を有理化して
\(PI=\frac{\sqrt{2}}{2}a\)
\(\triangle{PCO}\)で底辺\(CO\)の場合と底辺\(CP\)の場合で面積について方程式を作ると
\(OC×PI×\frac{1}{2}=CP×OH×\frac{1}{2} \\a×\frac{\sqrt{2}}{2}a×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a×OH×\frac{1}{2} \\\sqrt{2}a=\sqrt{3}OH \\OH=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a \\OH=\frac{\sqrt{6}}{3}a\)
よって、正四面体の高さ
\(\frac{\sqrt{6}}{3}a\)
正四面体の体積を求める！
- 体積・・・底面積×高さ（錐なら\(\frac{1}{3}\)倍）
\(a×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a×\frac{1}{3}\\=\frac{\sqrt{18}}{36}a^3\\=\frac{3\sqrt{2}}{36}a^3\\=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\)
よって、正四面体の体積
\(\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\)
正四面体について覚えること！
知っていれば一瞬で答えを求めることができます！
入試で素早く答えられるよう、覚えておきましょう！
