放物線と直線　~面積比~

一次関数のグラフ　~最初に知っておくこと~

二次関数　~めっちゃわかる基本！~ 

 

 

基本事項を思い出して解く！

問題　$A(1,1)$、$B(2,0)$とします。点$A$を通る放物線の方程式が $y=ax^2$で、放物線上の $x=2$に対応する点を$C$とするとき、次の問いに答えなさい。

（１）$a$の値を求めなさい。

（２）直線$AB$の方程式を求めなさい。

（３）放物線と直線$AB$の交点で、点$D$の座標を求めなさい。

（４）△$OAD$と△$ACD$の面積比を最も簡単な整数で表しなさい。

 

 

（１）$a$の値を求めなさい。

通る→代入して式が成り立つ！

$A(1,1)$が $y=ax^2$を通るから

$1=a×1^2\\a=1$

答え　$a=1$

 

 

（２）直線$AB$の方程式を求めなさい。

$A(1,1)$、$B(2,0)$

傾き$=\frac{0-1}{2-1}\\=-1$

よって

$y=-x+b$

これが $B(2,0)$を通るから

$0=-2+b\\b=2$

よって

答え　$y=-x+2$

 

 

（３）放物線と直線$AB$の交点で、点$D$の座標を求めなさい。

交点→連立方程式！

$\begin{cases} y=x^2…① \\ y=-x+2…②\end{cases}$ 

連立方程式の解き方　代入法

①を②に代入して

$x^2=-x+2\\x^2+x-2=0$

因数分解　~最後にかけてたして~

$x^2+x-2=0\\(x+2)(x-1)=0$

$x=-2,1$

 

点$D$は $x<0$より

$x=2$を①に代入して

$y=2^2\\~~=4$

よって

答え　$D(-2,4)$

 

 

面積を求めよう！

（４）△$OAD$と△$ACD$の面積比を最も簡単な整数で表しなさい。

△$OAD$の面積を求める！

一撃では求められないから分割で求める！

直線$BD$と $y$軸との交点を $E$として

 

直線$AB$は $y=-x+2$より

$E(0,2)$

 

わかることを図に書き込む！

• △$OAD=$△$ODE+$△$OAE$

△$OAD=2×2×\frac{1}{2}+2×1×\frac{1}{2}\\~~~~~~~~=2+1\\~~~~~~~~=3$

 

△$ACD$の面積を求める！

△$ACD=4×3×\frac{1}{2}\\~~~~~~~~=6$

よって

$△ OAD:△ ACD=3:6\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=1:2$

答え　$△ OAD:△ ACD=1:2$

 

 

まとめ

最後の問題は、面積比を答える問題でした。

今回の問題では「最も簡単な整数で表しなさい。」と書いてありましたが、比を答える問題では、何も書いてなくても”最も簡単な整数の比”で答えるのが一般的です！

放物線と直線