正四面体について知ろう！（高さと体積は一瞬で求める！）
もくじ
正四面体とは正三角形で囲まれた図形である！
- すべての辺の長さが等しい (正三角形だから)
正四面体の高さを求めよう！
問題 図の正四面体について次の問いに答えなさい。
（１）頂点\(O\)から面\(ABC\)にひいた垂線\(OH\)の長さを求めなさい。
（２）体積を求めなさい。
（１）頂点\(O\)から面\(ABC\)にひいた垂線\(OH\)の長さを求めなさい。
二等辺三角形\(PCO\)に着目する！
\(\triangle{OAB}\)は正三角形だから
\(AP=6\)
よって
\(OP=6\sqrt{3}\)
\(\triangle{PCO}\)は\(PC=PO\)の二等辺三角形だから
頂点\(P\)から線分\(CO\)に垂線をひいて\(I\)とすると
\(\triangle{PCI}\)で三平方の定理より
\(6^2+PI^2=(6\sqrt{3})^2 \\36+PI^2=108 \\PI^2=72\)
\(PI>0\)より
\(PI=6\sqrt{2}\)
\(\triangle{PCO}\)で底辺\(CO\)の場合と底辺\(CP\)の場合で面積について方程式を作ると
\(OC×PI×\frac{1}{2}=CP×OH×\frac{1}{2} \\12×6\sqrt{2}×\frac{1}{2}=6\sqrt{3}×OH×\frac{1}{2} \\12\sqrt{2}=\sqrt{3}OH \\OH=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\OH=4\sqrt{6}\)
答え \(2\sqrt{6}~cm\)
正四面体の体積を求めよう！
（２）体積を求めなさい。
- 体積・・・底面積×高さ（錐なら\(\frac{1}{3}\)倍）
\(12×6\sqrt{3}×\frac{1}{2}×4\sqrt{6}×\frac{1}{3}=144\sqrt{2}\)
答え \(144\sqrt{2}~cm^3\)
正四面体について覚えること！
- すべての辺の長さが等しい (正三角形だから)
正四面体の一辺\(12cm\)を「\(a\)」に置き換えて計算すると
- 高さ \(\frac{\sqrt{6}}{3}a~cm\)
- 体積 \(\frac{\sqrt{2}}{12}a^3~cm^3\)
「\(a\)」に置き換えて計算している記事はこちらです！
