因数分解 ~これが解けたらすごいよ！~
因数分解の難しい問題に挑戦！
難易度
- （１）ちょい難 ★☆☆☆☆
- （２）難しい ★★★☆☆
- （３）激ムズ ★★★★★
もくじ
基本を忘れないこと
問題 次の式を因数分解しなさい。
（１） \(p(x+y)-2x-2y\)
（２） \(x^4+2x^3y-2xy^3-y^4\)
（３） \(a^4+a^2+1-2ab-b^2\)
基本情報はこちらから☆
因数分解を解くポイント
- まず共通因数！
- 何かの2乗を探す！
- 最後にかけてたして！
（１） \(p(x+y)-2x-2y\)
\(p(x+y)-2x-2y\)
\(=px+py-2x-2y\)
\(px-2x+py-2y\)
まず共通因数！
それぞれ「\(x\)」、「\(y\)」が共通因数
\(px-2x+py-2y\)
\(=(p-2)x+(p-2)y\)
まだ共通因数があります！
「\(p-2\)」が共通因数
\((p-2)x+(p-2)y\)
\(=(p-2)(x+y)\)
これ以上因数分解できないので
答え \((p-2)(x+y)\)
（２） \(x^4+2x^3y-2xy^3-y^4\)
\(x^4+2x^3y-2xy^3-y^4\)
\(=x^4-y^4+2x^3y-2xy^3\)
まず共通因数！
\(x^4-y^4+2x^3y-2xy^3\)
\(=x^4-y^4+2xy(x^2-y^2)\)
何かの2乗を探す！
\(=x^4-y^4+2xy(x^2-y^2)\)
\(=(x^2)^2-(y^2)^2+2xy(x^2-y^2)\)
- \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
\(=(x^2+y^2)(x^2-y^2)+2xy(x^2-y^2)\)
難しい因数分解の問題では
- まず共通因数
- 何かの２乗を探す！
- また共通因数がある！！
と繰り返すことがあります👳
また共通因数がある！！
「\((x^2-y^2)\)」が共通因数
\((x^2+y^2)(x^2-y^2)+2xy(x^2-y^2)\)
\(=(x^2-y^2)(x^2+y^2+2xy)\)
また何かの2乗を探す！！
\((x^2-y^2)(x^2+y^2+2xy)\)
- \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
- \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
\((x^2-y^2)(x^2+y^2+2xy)\)
\(=(x+y)(x-y)(x+y)^2\)
\(=(x+y)^3(x-y)\)
これ以上因数分解できないので
答え \((x+y)^3(x-y)\)
\(「(x+y)(x-y)(x+y)^2」\)はまだ計算できる！
\(ABA^2=A^3B\)
（３） \(a^4+a^2+1-2ab-b^2\)
因数分解ができるように並び替える！
この並び替えが難しいポイントになります！
何度も並び替えることが多いです💦
何度も並び替えて
- まず共通因数
- 何かの2乗を探す
- 最後にかけてたして
をしてもできない💦
この問題は「別格」です💧
因数分解できないならできるようにする！
こんなの気づかないと思います💦
\(a^4\)\(+a^2\)\(+1-2ab-b^2\)
\(=a^4\)\(+2a^2\)\(+1\)\(-a^2\)\(-2ab-b^2\)
「\(+a^2\)」を「\(+2a^2-a^2\)」にした！
\(a^4+2a^2+1-a^2-2ab-b^2\)
\(=(a^2)^2+2a^2+1-(a^2+2ab+b^2)\)
- \(A^2+2AB+B^2=(A+B)^2\)
\((a^2)^2+2a^2+1-(a^2+2ab+b^2)\)
\(=(a^2+1)^2-(a+b)^2\)
- \((A^2-B^2)=(A+B)(A-B)\)
\((a^2+1)^2-(a+b)^2\)
\(=(a^2+1+a+b)(a^2+1-a-b)\)
これ以上因数分解できないので
答え \((a^2+1+a+b)(a^2+1-a-b)\)
まとめ
因数分解の基本は変わりません！
- まず共通因数
- 何かの2乗を探す
- 最後にかけてたして
ここまで難しい問題が出てくることはほとんどありませんのでご安心を☆
私立の入試問題くらいです！
問題3 は「神」レベルだと思います👳
難しい問題に挑戦すると、今までの問題がとても簡単だったと気づかされることでしょう☆
そう思えたら挑戦した意味があります！
本当におつかれさまでした☆
（３）は難しかったですが、何とか解けました。
あと2ヶ月で70歳ですが、もう少しの間、脳は大丈夫そうで安心しました。
鍛鉄の鉄人さんコメントありがとうございます。
70歳はすごいですね。問題を解いていただき光栄です。
ぜひ、違う問題も挑戦してください！
とてもわかりやすい解説で、勉強になりました。
(3)の問題は、bについて降べきの順に並び替えて、bについて2次式だとみれば、=0として解の公式で解くと、同じ答えが出ますね。(ただし、最高次の係数に注意する必要があり、私はそこで符号を間違えてしまいましたが・・・)
通りすがりさんコメントありがとうございます。
難しい因数分解の「例」をいくつか知っておくといいですよね。
勉強頑張ってください！