放物線と直線②
問題 関数 \(y=\frac{1}{2}x^2\)のグラフで、グラフ上の点を \(A\)、\(B\)とします。また、点\(A\)、\(B\)の \(x\)座標をそれぞれ\(-6\)、\(2\)とします。直線\(AB\)と \(x\)軸との交点を \(C\)とするとき、次の問いに答えなさい。
（１）関数 \(y=\frac{1}{2}x^2\)について、\(x\)の変域が \(-6≦x≦2\)のとき \(y\)の変域を求めなさい。
（２）直線\(AB\)の式を求めなさい。
（３）関数 \(y=\frac{1}{2}x^2\)のグラフ上に \(x\)座標が正である点\(D\)をとります。△\(OCD\)の面積が\(12\)になるとき、点\(D\)の座標を求めなさい。
もくじ
変域は確実に正解できるようにしよう！
（１）関数 \(y=\frac{1}{2}x^2\)について、\(x\)の変域が \(-6≦x≦2\)のとき \(y\)の変域を求めなさい。
\(x\)の変域に \(0\)が含まれている！
\(x=-6\)を \(y=\frac{1}{2}x^2\)に代入して
\(y=\frac{1}{2}×(-6)^2\\y=18\)
よって
答え \(0≦y≦18\)
（２）直線\(AB\)の式を求めなさい。
\(x=-6\)を \(y=\frac{1}{2}x^2\)に代入して
\(y=\frac{1}{2}×(-6)^2\\y=18\)
よって
\(A(-6,18)\)
\(x=2\)を \(y=\frac{1}{2}x^2\)に代入して
\(y=\frac{1}{2}×2^2\\y=2\)
よって
\(B(2,2)\)
\(A(-6,18)\)、\(B(2,2)\)より
傾き\(=\frac{2-18}{2-(-6)}\\=\frac{-16}{8}\\=-2\)
よって
\(y=-2x+b\)
これが
\(B(2,2)\)を通るから
\(2=-2×2+b\\2=-4+b\\b=6\)
よって
答え \(y=-2x+6\)
方程式を作って求めよう！
（３）関数 \(y=\frac{1}{2}x^2\)のグラフ上に \(x\)座標が正である点\(D\)をとります。△\(OCD\)の面積が\(12\)になるとき、点\(D\)の座標を求めなさい。
点\(C\)の座標を求める！
\(y=0\)を \(y=-2x+6\)に代入して
\(0=-2x+6\\2x=6\\x=3\)
よって
\(C(3,0)\)
わかることを図に書き込む！
- 三角形の面積＝底辺×高さ×\(\frac{1}{2}\)
面積と底辺がわかるから、「方程式を作って」高さを求めることができる！
また、高さは 点\(D\)の \(y\)座標である。
\(12=3×Dy×\frac{1}{2}\\24=3Dy\\Dy=8\)
点\(D\)は放物線 \(y=\frac{1}{2}x^2\)上の点だから
\(y=8\)を \(y=\frac{1}{2}x^2\)に代入して
\(8=\frac{1}{2}x^2\\16=x^2\\x^2-16=0\\(x+4)(x-4)=0\)
\(x>0\)より
\(x=4\)
よって
答え \(D(4,8)\)
まとめ
放物線と直線の問題パターンに慣れてしまえば、”こんなものか”と思えるようになります！
ポイントになるのは、やはり基礎基本です☆
- 直線の求め方
- 座標の求め方
- 方程式の解き方
- 因数分解の解き方
不安な人はこの辺を復習するといいと思います！
